レジェンドルの微分方程式
『ルジャンドルの微分方程式』より : ルジャンドルの微分方程式（るじゃんどるのびぶんほうていしき）とは、アドリアン＝マリ・ルジャンドルにその名をちなむ、以下の形の常微分方程式の事である。
\frac{d}{dx}\left[\left(1-x^2\right)y”\right]+\nu(\nu+1)y=0
これはガウスの微分方程式において、α ν + 1, β -ν, γ 1 と選んだ場合と同じである。
この解は偶関数と奇関数になる事が知られていて、それぞれ以下のようになる。
y_e(x) \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n}}{(2n)!} \left(-\frac{\nu}{2}\right)_n \left(\frac{\nu+1}{2}\right)_n x^{2n}
y_o(x) \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n}}{(2n+1)!} \left(\frac{1-\nu}{2}\right)_n \left(1+\frac{\nu}{2}\right)_n x^{2n+1}
また特別なケースとして ν 0, 1, 2, ... の場合に解はν次多項式となる。
出展:Wikipedia
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